1.1. Fermat và Pascal: Những người đặt nền móng cho lý thuyết xác suất

Posted on February 2, 2015 by lvthanh07

Blaise Pascal (1623-1662) và Pierre de Fermat (1601-1665) là hai nhà toán học đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Năm 1654, qua trao đổi thư từ, Blaise Pascal và Pierre de Fermat đã giải quyết một bài toán thú vị của lý thuyết trò chơi (Problem of Points) mà ta có thể tóm tắt (link Tiếng Anh) như sau: Vào một ngày nọ, Pascal và Fermat ngồi nói chuyện với nhau trong một quán cà phê ở Paris. Sau một ngày thảo luận căng thẳng về những vấn đề toán học hóc búa, họ quyết định mỗi người sẽ bỏ ra 50 Francs để chơi trò chơi tung đồng xu và lấy tiền đi ăn tối. Nếu mặt ngửa xuất hiện, Fermat được 1 điểm, nếu mặt sấp xuất hiện, Pascal sẽ được một điểm. Ai nhận được 10 điểm thì trò chơi sẽ kết thúc và người đó sẽ nhận toàn bộ 100 Francs. Nhưng một điều bất ngờ đã xảy ra. Khi Fermat được 8 điểm và Pascal được 7 điểm thì Fermat nhận được tin là có một người bạn của anh ấy ốm nặng. Người báo tin đồng ý sẽ đưa Fermat cùng về Toulouse nhưng với điều kiện Fermat phải về ngay lập tức. Khi Fermat trở lại Toulouse thì một vấn đề nảy sinh: Làm thế nào để chia số tiền 100 Francs?

Và trong một bức thư gửi Pascal sau này, Fermat đã nêu cách giải quyết như sau:

Tôi (Fermat) chỉ cần 2 điểm nữa là thắng cuộc chơi, trong khi đó bạn (Pascal) cần thêm 3 điểm, nên ta cần tung đồng xu tối đa thêm bốn lần nữa thì cuộc chơi sẽ kết thúc. Trong bốn lần tung này, nếu bạn không nhận được đủ 3 điểm, đồng nghĩa với việc tôi sẽ có thêm 2 điểm và sẽ dành chiến thắng. Nếu ký hiệu mặt ngửa bởi N và mặt sấp bởi S, thì có tất cả 16 kết quả có thể xảy ra sau đây:

NNNN

NNNS\ NNSN\ NSNN\ SNNN

SSNN\ NNSS\ SNNS\ NSSN\ SNSN\ NSNS

SSSN\ SSNS\ SNSS\ NSSS

SSSS.

Vì trong 16 kết quả trên, có 11 kết quả thuận lợi cho tôi. Do đó, 100 Francs cần được chia theo tỉ lệ 11:5 nghiêng về phía tôi, nghĩa là, tôi sẽ nhận (11/16)*100 =68.75 Francs, và bạn sẽ nhận 31.25 Francs.

Pascal rất hài lòng với cách giải quyết của Fermat. Tuy nhiên, Pascal nhận thấy phương pháp liệt kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra của Fermat tương đối tẻ nhạt đối với bài toán tổng quát. Pascal đã lý luận như sau: Trong lời giải của Fermat, ta nhận thấy nếu có 2 hoặc hơn  2 mặt ngửa xuất hiện thì Fermat sẽ thắng cuộc. Số các kết quả có hai mặt ngửa khi tung đồng xu 4 lần là C_{4}^{2}. Như vậy, số các trường hợp thuận lợi cho Fermat là

C_{4}^{4}+C_{4}^{3}+C_{4}^{2}=C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+C_{4}^{2}.

Đây chính là 3 số hạng đầu tiên trong dòng thứ năm trong tam giác Pascal:

C_{0}^{0}

C_{1}^{0}\ C_{1}^{1}

C_{2}^{0}\ C_{2}^{1}\ C_{2}^{2}

C_{3}^{0}\ C_{3}^{1}\ C_{3}^{2}\ C_{3}^{3}

C_{4}^{0}\ C_{4}^{1}\ C_{4}^{2}\ C_{4}^{3}\ C_{4}^{4}

Đối với bài toán tổng quát, khi người chơi thứ nhất và người thứ hai lần lượt cần k và l điểm nữa để dành phần thắng, thì số tiền sẽ chia cho người thứ nhất theo tỉ lệ r=x/y, trong đó $latex $ là tổng số l số hạng đầu tiên của dòng thứ (k+l) trong tam giác Pascal, còn y là tổng của tất cả các số hạng trong dòng đó:

r=\dfrac{C_{k+l-1}^{0}+C_{k+l-1}^{1}+\dots+C_{k+l-1}^{l}} {2^{k+l-1}}.

Trở lại trò chơi của Fermat và Pascal (k=2,l=3), số tiền chia cho Fermat theo tỉ lệ

\dfrac{C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+C_{4}^{2}}{2^4}.

Cho dù lý luận trên của Fermat và Pascal tương đối đơn giản đối với chúng ta ngày nay, nhưng nó là một cuộc cách mạng vào những năm giữa thế kỷ 17. Đó chính là cách định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển. Khi một phép thử ngẫu nhiên có n kết quả đồng khả năng (equally probable outcomes), trong đó có m kết quả thuận lợi cho sự kiện A, thì xác suất của biến cố A được định nghĩa

P(A)=\dfrac{m}{n}.

Trong bài toán chia điểm của Fermat và Pascal, có 16 kết quả đồng khả năng có thể xảy ra khi tung một đồng xu cân đối 4 lần, trong đó có 11 kết quả thuận lợi cho sự kiện A (sự kiện Fermat thắng cuộc). Vậy

P(A)=\dfrac{11}{16}.

Bài tập: Hãy trình bày cách chia tiền thưởng trong trường hợp Fermat được 9 điểm và Pascal được 6 điểm thì trò chơi bị dừng lại.

This entry was posted in Thống kê toán học và xử lý số liệu. Bookmark the permalink.

Leave a comment